세상에 문이 더 많을까, 바퀴가 더 많을까? — 페르미 추정으로 풀어 본 무한 논쟁

동료가 회의 시작 전 화이트보드에 낙서를 하다 묻습니다. “문이 많을까, 바퀴가 많을까?” 뜬금없어 보이지만 출처가 있는 질문입니다. 2022년 3월, 뉴질랜드의 럭비 심판 라이언 닉슨(Ryan Nixon)이 친구들과 나누던 "역대급으로 멍청한 논쟁"을 트위터에 올렸고, 22만 표가 넘게 몰리며 인터넷을 두 진영으로 갈라놓았습니다.^[1]

재밌는 건 이 논쟁에 답이 없는 게 아니라, 질문 자체가 정의를 안 정하고 시작한다는 점입니다. "문"과 "바퀴"를 어디까지 인정할지 정하지 않으면 셀 수조차 없습니다. 그래서 이 글은 건물 문에서 출발해 자동차, 장난감, 식물의 기공, 세균의 편모 모터까지 정의를 한 단계씩 넓혀가며 실제로 세어 보기로 했습니다. 미리 결과를 말하면, 순위가 진짜로 뒤집히는 순간은 정확히 세 번입니다. 그리고 마지막 반전은 어느 쪽이 “진짜” 승자인지보다, 같은 잣대를 양쪽에 공평하게 대면 무슨 일이 벌어지는지에 관한 이야기로 끝납니다.

INPUT

판정 기준부터: 무엇을 '바퀴’로 칠 것인가

셈을 시작하기 전에 잣대부터 정합니다. 표준국어대사전은 「바퀴」를 "돌리거나 굴리려고 테 모양으로 둥글게 만든 물건"으로 정의합니다.^[2] 메리엄웹스터의 "wheel"도 "단단한 재질로 된 원형 테로, 축을 중심으로 회전할 수 있는 것"이라고 씁니다.^[3] 두 사전을 겹치면 조건이 두 개 나옵니다. ① 원형 테나 원반 형태를 갖출 것, ② 축을 중심으로 회전할 것. 이 글은 두 조건을 모두 충족해야 "엄격 정의"로 인정하고, 하나만 걸치면 “애매”, 아예 못 미치면 "확장/비유"로 표시합니다.

같은 잣대를 "문"에도 그대로 대야 공평합니다. 표준국어대사전은 「문」을 "드나들거나 물건을 넣고 뺄 수 있도록 벽 등에 만들어 놓고 닫았다 열었다 하게 만든 시설물"로 정의합니다.^[4] 핵심은 "시설물"입니다. 사람 몸속의 심장판막이나 식물의 기공은 이 정의로는 문이 아닙니다. 이 사실은 뒤에서 다시 쓰입니다 — 4단계의 팬이 바퀴의 엄격 정의에서 탈락하듯, 5단계의 판막·기공도 문의 엄격 정의에서는 똑같이 탈락하기 때문입니다.

공통 변수: 세계 인구와 가구

유엔의 최신 인구 전망에 따르면 세계 인구는 약 82억 명입니다(중심값).^[5] 유엔 경제사회국의 가구 구성 데이터베이스는 국가별 평균 가구원수를 집계하는데, 세계 평균은 하락 추세 속에서 약 4.6명 선으로 잡습니다(needs-assumption, 국가별 편차가 커서 보수적으로도 3.5명, 공격적으로는 5명대까지 갈 수 있음).^[6] 이 둘을 나누면 세계 가구 수가 나옵니다.

$$V_1 = \frac{P}{H} = \frac{8.2\times10^9}{4.6} \approx 1.783\times10^9\ \text{가구}$$

1단계 변수 — 건물 문 vs 자동차·이륜차·자전거 바퀴

차량 1대당 바퀴 수는 승용차 4, 상용차 6(중심), 오토바이 2, 자전거 2로 고정합니다. 장착돼 굴러가는 바퀴만 세고 스페어타이어는 제외합니다.

2단계 변수 — 자동차 문 전수

3단계 변수 — 장난감·사무용품

4a·4b단계 변수 — 기어·도르래(엄격) vs 팬·터빈·롤러(애매)

이 범주는 사실상 상한이 없습니다. 드릴, 믹서, 산업용 모터까지 넓히면 끝없이 늘어나기 때문에, 위 수치는 계산 가능한 하한선으로만 씁니다.

5단계 변수 — 생물학적 “문” (사람 · 동물 · 식물)

척추동물(어류 약 3.5×10¹², 조류 약 5×10¹⁰, 포유류·가축 포함)도 후보지만, 개체당 판막·괄약근을 후하게 잡아도 총합이 10¹⁴대에 머물러 아래 계산에서는 반올림 오차로 처리합니다.

6단계 변수 — 세균 편모 모터

사전 비교용 변수 — 가구 문 (누적 사다리에는 포함하지 않음)

$V_2$는 가구·수납장을 제외했습니다. 표준국어대사전의 “시설물” 요건상 독립 캐비닛은 애매하기 때문입니다. 반면 메리엄웹스터는 "door"를 "보통 여닫히거나 미닫이로 움직이며 출입구를 닫고 여는 장벽. 가구의 비슷한 부분도 포함한다"라고 정의해 가구 문을 명시적으로 넣습니다.^[18] 별도 변수로 셈해 둡니다.

고소득 가구(세계 가구의 약 20%)는 주방 상·하부장 12짝 + 옷장·욕실장·기타 6짝으로 18짝(북미 ANSI/KCMA·NKBA 캐비닛 구성비 참고, 고소득층 근사치로만 사용).^[19] 중간층(45%)은 7짝, 저소득층(35%)은 2짝입니다. 서랍은 미닫이-당김 방식이라 여닫이 "문"과 결이 달라 기존대로 제외합니다.

$$V_{35} = 0.20(18)+0.45(7)+0.35(2) = 7.45\text{짝/가구}$$

$$\text{문}_{\text{MW,육안}} = \text{문}_2+V_{35}V_1 = 2.40\times10^{10}+7.45\times1.783\times10^9\approx2.40\times10^{10}+1.33\times10^{10}\approx3.73\times10^{10}$$

이 값은 앞선 누적 사다리(1~6단계, 스코어보드 표)에는 넣지 않습니다. 사전을 바꾸면 달라지는 별도 항목으로만 다루고, 아래 매트릭스 위젯의 ‘적용 사전’ 토글에서만 반영합니다.

FORMULA

정의를 한 단계씩 넓혀가며 누적으로 더합니다. 한 번 인정한 범주는 다음 단계에서도 계속 카운트에 남습니다.

1단계 — 건물 문만 (엄격)

$$\text{문}_1 = V_1\cdot V_2\cdot(1+V_3) = 1.783\times10^9\times6.0\times1.4 \approx 1.50\times10^{10}$$

$$\text{바퀴}_1 = 4V_4+6V_5+2V_6+2V_7 = 4(1.23\times10^9)+6(4.11\times10^8)+2(1.3\times10^9)+2(1.5\times10^9)\approx1.30\times10^{10}$$

문이 앞섭니다. 그런데 배율은 겨우 1.15배입니다. $V_2$를 보수적으로 4개까지, $V_6\cdot V_7$을 공격적으로 16억·25억 대까지 밀면 순서는 바로 뒤집힙니다(문 약 $9.98\times10^9$ < 바퀴 약 $1.56\times10^{10}$). 일곱 개 단계를 통틀어 가장 얇은 마진이 하필 첫 단계에 있습니다.

교차검증도 해봅니다. 국제에너지기구(IEA)는 2016년 기준 세계 건물 연면적을 약 2,350억 m²로 추정합니다.^[11] 문 하나당 평균 담당 면적을 15~25 m²로 잡으면 $2.35\times10^{11}/20 \approx 1.18\times10^{10}$개로, 가구 기반 계산과 같은 자릿수에서 맞아떨어집니다.

2단계 — 자동차 문 전수 포함 (엄격, 리더 불변)

$$\text{문}_2 = \text{문}_1 + V_8V_4 + V_9V_5 = 1.50\times10^{10}+6(1.23\times10^9)+4(4.11\times10^8)\approx2.40\times10^{10}$$

바퀴는 그대로 $1.30\times10^{10}$입니다. 배율이 1.85배로 벌어집니다. 리더는 바뀌지 않지만 반직관적인 지점입니다 — 자동차라는, 바퀴의 홈그라운드 같은 물건 안에서조차 문(도어4+보닛+트렁크=6개)이 바퀴(4개)를 이깁니다.

3단계 — 장난감·사무용품 (엄격, 리더 교체 ①)

$$\text{바퀴}_3 = \text{바퀴}_1+4V_{10}V_{11}+V_{12}V_{13}V_{14}+3.5V_{15}+V_{16}$$

핫휠 = $4\times6\times10^9\times0.5=1.20\times10^{10}$ / 사무의자 = $5\times1.2\times10^9\times1.3=7.80\times10^9$ / 캐리어 = $3.5\times2\times10^9=7.00\times10^9$ / 기타 $2.5\times10^9$

$$\text{바퀴}_3 \approx 1.30\times10^{10}+1.20\times10^{10}+7.80\times10^9+7.00\times10^9+2.5\times10^9 \approx 4.23\times10^{10}$$

문₃는 문₂와 같은 $2.40\times10^{10}$입니다. 바퀴가 1.76배 차로 역전합니다 — 첫 번째 진짜 리더 교체(R3)입니다. 아래 계산기로 $V_{11}\cdot V_{13}$을 슬라이더 최솟값(5%, 5억 명)까지 동시에 내려도 바퀴₃는 약 $2.70\times10^{10}$으로 문₂를 근소하게 넘습니다. 1단계의 1.15배 마진보다 오히려 튼튼한 반전입니다.

4a단계 — 기어·도르래 (엄격, 리더 불변)

$$\text{바퀴}_{4a} = \text{바퀴}_3+V_{17a}(V_4{+}V_5)+5V_{20} \approx 4.23\times10^{10}+9.85\times10^9+1.75\times10^{10}\approx6.96\times10^{10}$$

문₄ₐ는 여전히 $2.40\times10^{10}$입니다. 배율 2.90배. "엄격한 사전적 정의"만 인정해도 바퀴 우세는 이미 굳어집니다.

4b단계 — 팬·터빈·롤러 (애매, 리더 불변)

$$\text{바퀴}_{4b} = \text{바퀴}_{4a}+V_{17b}(V_4{+}V_5)+1.5V_{18}+1.5V_{19} \approx6.96\times10^{10}+4.92\times10^9+5.25\times10^9+3.0\times10^9\approx8.28\times10^{10}$$

배율 3.45배. 4a만 적용해도, 4a+4b를 모두 적용해도 리더는 바뀌지 않습니다. 3단계에서 이미 바퀴가 앞섰기 때문입니다. 볼베어링은 판정 기준을 못 채워(구체이며 축 회전이 아님) 이 계산에서 제외했습니다.

5단계 — 생물학적 “문” (확장/비유, 리더 교체 ②)

5-1. 사람. "판막·괄약근까지 세면 문이 압도적일 것 같다"는 직관을 먼저 검증합니다.

$$P\cdot(V_{28}{+}V_{29}{+}V_{30}) = 8.2\times10^9\times(4+21+7)=8.2\times10^9\times32\approx2.62\times10^{11}$$

$$\text{문}_{\text{중간}} = \text{문}_2 + 2.62\times10^{11} \approx 2.86\times10^{11}$$

이 시점에서 바퀴₄ᵦ($8.28\times10^{10}$)보다 이미 큽니다. 직관은 맞습니다 — 판막·괄약근만으로도 문이 재역전합니다. 그런데 이건 서막에 불과합니다.

5-2. 동물. 사람보다 압도적으로 많은 게 동물이지만, 반전 안의 반전이 있습니다. 척추동물(어류·조류·포유류 전체)은 개체당 판막·괄약근을 후하게 쳐도 총합 $10^{14}$대에 그쳐 곧 반올림 오차가 됩니다. 진짜 기여자는 눈에 안 보이는 두 부류입니다.

$$\text{곤충} = V_{31}\cdot V_{32} = 1\times10^{19}\times28\approx2.8\times10^{20}$$

$$\text{선충} = V_{33}\cdot V_{34} = 4.4\times10^{20}\times3\approx1.32\times10^{21}$$

$$\text{동물 합계} \approx 2.8\times10^{20}+1.32\times10^{21}\approx1.6\times10^{21}$$

선충 개체 수(4.4±0.64×10²⁰)는 6,759개 지점 표본 논문값이라 신뢰도가 높습니다.^[14] 곤충 개체 수는 널리 인용되지만 정밀 통계는 아닙니다.^[15] 흥미로운 건 곤충의 기문(숨구멍)입니다 — 근육으로 실제 열고 닫혀, 판막보다 오히려 사전적 "문"에 더 부합합니다.

5-3. 식물 기공. 그리고 이 모든 걸 다시 반올림 오차로 만드는 항목이 나옵니다.

$$\text{기공} = V_{21}V_{22}V_{23} = 3.04\times10^{12}\times1\times10^4\times2\times10^5\approx6.08\times10^{21}$$

$$\text{문}_5 = \text{문}_2+2.62\times10^{11}+1.60\times10^{21}+6.08\times10^{21}\approx7.68\times10^{21}$$

인체 판막·괄약근(2.62×10¹¹)도, 건물·자동차 문(2.40×10¹⁰)도 이 총합 앞에서는 소수점 아래로 사라집니다. 나뭇잎에 붙은 기공을 다 합친 수는, 인류 전체의 심장판막·정맥판막·괄약근을 다 합친 것보다도 자릿수로 10개, 배율로는 약 232억 배 더 큽니다.

$$\text{문}_5(7.68\times10^{21})\ \text{vs}\ \text{바퀴}_{4b}(8.28\times10^{10}) \Rightarrow \text{문의 압승, 배율}\approx9.28\times10^{10}\text{배} \quad(\textbf{R5})$$

두 번째 진짜 리더 교체입니다. 그것도 앞선 두 번의 역전과는 자릿수 자체가 다른 압승입니다.

6단계 — 세균 편모 모터 (엄격에 가장 가까움, 리더 교체 ③)

세균은 회전자가 원형 링 구조(C-링·MS-링)를 이루고, 이 원형 구조가 고정된 고정자 위에서 360도 회전합니다. 형태·회전 조건(원형 테 + 축 회전)만 보면 이 글에서 판정 기준에 가장 가까운 항목입니다. 다만 두 사전 모두 “만든 물건”·"hard material"이라는 인공물 조건을 달고 있어서, 자연적으로 진화한 구조가 그 조건까지 통과한다고 단정하기는 어렵습니다. 그래서 이 항목도 엄밀히는 비유의 영역에 걸쳐 있습니다.

$$\text{바퀴}_6 = \text{바퀴}_{4b}+V_{24}V_{25}V_{26} \approx 8.28\times10^{10}+5\times10^{30}\times0.3\times3 \approx 4.50\times10^{30}$$

$$\text{문}_6(7.68\times10^{21})\ \text{vs}\ \text{바퀴}_6(4.50\times10^{30}) \Rightarrow \text{바퀴의 최종 역전, 배율}\approx5.86\times10^{8}\text{배} \quad(\textbf{R6})$$

세 번째이자 마지막 진짜 리더 교체입니다. 이 결과는 가정을 아무리 박하게 잡아도 뒤집히지 않습니다. 편모 보유 비율($V_{25}$)을 30%에서 10%로, 세포당 편모 수($V_{26}$)를 3개에서 1개로 동시에 낮추면 바퀴₆는 $5\times10^{29}$까지 내려가지만, 그래도 문₅($7.68\times10^{21}$)보다 여전히 8자릿수 위입니다.

누적 스코어보드

진짜 리더 교체는 3번뿐입니다(3·5·6단계). 1~4b단계는 전부 같은 자릿수($10^{10}$) 안에서 다투지만, 5단계부터는 매 단계 자릿수가 10~20개씩 뜁니다. 그리고 “엄격/애매/확장” 티어는 승자와 무관합니다 — 6단계(형태·회전만 충족)가 5단계(확장/비유)를 이기는 게 이 표의 핵심 아이러니입니다.

사전을 바꾸면 결과도 바뀔까

지금까지는 표준국어대사전만 기준으로 삼았습니다. 논쟁의 출발점이 영어권 설문이었던 만큼, 메리엄웹스터로 바꾸면 어떻게 되는지도 확인해야 공평합니다.

바퀴 쪽은 실질적으로 차이가 없습니다. 메리엄웹스터만 축을 명시하지만 갈리는 항목은 없습니다 — 기어는 두 사전 모두 통과하고 팬은 두 사전 모두 탈락합니다. 문제는 문 쪽입니다. 표준국어대사전은 "시설물"로 한정하지만, 메리엄웹스터는 가구 문을 명시적으로 포함합니다.^[18] 문의 “엄격·육안” 값은 $2.40\times10^{10}$에서 $V_{35}$만큼 늘어나 $3.73\times10^{10}$이 됩니다.

4a단계(기어까지 포함한 엄격 정의)에 대입하면 격차가 줄어듭니다.

$$\frac{\text{바퀴}_{4a}}{\text{문}_{\text{MW,육안}}} = \frac{6.96\times10^{10}}{3.73\times10^{10}} \approx 1.87\text{배}$$

표준국어대사전 기준 2.90배였던 격차가 1.87배로 좁혀지지만, 승자는 바뀌지 않습니다.

더 좁게 읽는 방법도 있습니다. 케임브리지 학습자 사전은 wheel을 "차량 아래 고정돼 지면 위를 움직이게 하는 원형 물체"로, 축이 아니라 용도로 정의합니다.^[20] 그대로 적용하면 기어(약 $2.73\times10^{10}$)가 통째로 빠져 바퀴는 $4.23\times10^{10}$, 문(MW 기준 $3.73\times10^{10}$)과 거의 동점이 됩니다. 다만 학습자용 사전이라 앞의 두 사전과 같은 급의 전거는 아닙니다.

그런데 단계를 순서대로 밟을 이유는 없습니다

지금까지의 누적 사다리에는 함정이 있습니다. 순서대로 쌓다 보니 “팬은 빼고 편모 모터는 넣는” 조합에 도달할 방법이 없습니다. 판정 기준을 그대로 적용하면 그건 지극히 정상적인 조합입니다 — 팬은 애매하고 편모 모터는 엄격에 가깝기 때문입니다.

그래서 정의를 세 축으로 나눴습니다. 적용 사전(표준국어대사전 / 메리엄웹스터), 엄격도(사전적 정의만 / 애매까지 / 비유까지), 스케일 경계(육안까지 / 현미경까지)입니다. 세 축을 곱하면 열두 가지 조합이 나옵니다.

열두 칸을 모두 돌려 보면 규칙이 하나 드러납니다. 문이 이기는 칸은 "비유까지 허용 + 육안까지"라는 조합뿐이고, 어느 사전을 적용해도 마찬가지입니다. 나머지 열 칸은 전부 바퀴입니다.

한 가지 밝혀 둘 것이 있습니다. 이 위젯의 “육안 + 비유” 칸은 5단계에서 실제로 셈한 항목만 넣기 때문에, 생물학적 문 중에서는 사람의 판막·괄약근($2.62\times10^{11}$개)만 잡힙니다. 앞서 반올림 오차로 처리했던 척추동물 전체($10^{14}$대)까지 넣으면 이 칸의 문 개수는 세 자릿수쯤 더 올라갑니다. 다만 그래봐야 바퀴₄ᵦ($8.28\times10^{10}$)를 이기는 칸이 하나 더 늘어나는 게 아니라 이미 이기고 있는 칸의 격차가 벌어질 뿐이라, 승패 지도는 그대로입니다.

OUTPUT

세 번의 진짜 리더 교체입니다. 3단계에서 장난감·사무용 캐스터가 바퀴를 앞세우고(R3), 5단계에서 판막·기공을 포함한 생물학적 "문"이 압도적으로 재역전하고(R5), 6단계에서 세균 편모 모터가 최종 역전을 가져옵니다(R6). 2·4단계는 순위는 안 바뀌지만 각각 “자동차 안에서도 문이 이긴다”, "엄격한 정의만 써도 이미 바퀴가 굳어진다"는 반직관적인 순간이었습니다. 5단계 승자는 나뭇잎 기공 하나로 약 77해($7.68\times10^{21}$)까지 치솟았고, 6단계 승자는 이를 다시 5억 8천만 배 이상으로 밀어버렸습니다.

그런데 매트릭스를 전부 돌려 보면 이 승부의 진짜 구조가 드러납니다. 양쪽에 같은 잣대를 대는 한, 거의 모든 조합에서 바퀴가 이깁니다. 사전적 정의만 인정해도 바퀴가 이기고(2.90배), 애매한 팬까지 넣어도 바퀴가 이기고(3.45배), 양쪽 모두에 비유를 허용해도 바퀴가 이깁니다($5.86\times10^8$배). 문이 이기는 칸은 열두 개 중 두 개, "비유는 허용하되 현미경은 들여다보지 않는다"는 조합뿐이고, 어느 사전을 쓰든 결과는 같습니다.

이유는 취향이 아니라 구조입니다. 문이 폭발적으로 늘어나는 구간은 판막·기문·기공인데, 전부 비유의 영역입니다. 표준국어대사전의 "만든 물건"도, 메리엄웹스터의 "hard material"도 인공물을 전제하는데, 판막이나 기공은 인공물이 아니기 때문입니다. 같은 조건을 바퀴 쪽에 대면 편모 모터도 통과를 장담할 수 없습니다 — 자연적으로 진화한 구조지 "만든 물건"은 아니니까요. 두 항목 모두 엄밀한 정의 밖에 있는 셈입니다. 승부를 가르는 건 "정의를 통과하느냐"가 아니라 "비유를 허용하는 순간 어느 쪽이 더 크냐"입니다. 미생물 스케일에서 바퀴 쪽 항목(편모 모터, $4.50\times10^{30}$)은 문 쪽 항목(기공, $6.08\times10^{21}$)을 9자릿수 차로 앞섭니다.

물론 이 결론도 "편모 모터를 바퀴로 인정하는가"라는 정의 하나에 통째로 매달려 있습니다. 그 항목을 빼면 남는 건 240억 대 696억, 3배가 채 안 되는 접전입니다. 22만 명이 갈렸던 이유가 여기 있습니다. 다들 다른 사전을 들고 있었을 뿐입니다.

여기서 역설이 하나 더 있습니다. 선풍기 날개는 축을 중심으로 돌지만 "테 모양"이 아니라서 형태 조건에서 탈락합니다. 세균의 편모 모터는 형태·회전은 통과하지만 “인공물” 조건에서 걸립니다. 어느 쪽이 걸리든 결과는 같습니다 — "진짜 바퀴가 맞는가"를 형태·회전만으로 따지면, 선풍기는 눈에 안 보이는 세균에게도 집니다.

이 계산에는 아직 열어 둔 문이 하나 더 있습니다. 세포막의 이온채널까지 "문"으로 친다면, 순위는 다시 한번 뒤집힐 수도 있습니다. 다만 그건 이 글이 세지 않은 숫자입니다.