수능 국어 45문항, 다 찍으면 몇 점 나올까?

국어 시험지를 받아 듭니다. 종이 넘기는 소리가 시험장을 채우고, 타이머는 이미 돌아가고 있습니다. 그런데 1번 지문을 아무리 읽어도 무슨 말인지 하나도 들어오지 않습니다. 2번도, 3번도 마찬가지입니다. 결국 답안지 1번부터 45번까지, 눈을 질끈 감고 OMR 카드에 마킹만 채워 넣는 상황을 상상해 봅니다. 완전히 찍었을 때 나오는 점수는 도대체 몇 점일까요.

이 질문에는 이미 다들 알고 있는 답이 있습니다. “5지선다니까 20점 근처겠지.” 맞습니다. 기댓값은 정확히 20점이 나옵니다. 그런데 "그럼 만점은 얼마나 어려운데?"로 한 발짝만 더 들어가면, 이야기가 이상한 방향으로 꺾입니다. 전 문항을 틀려 0점을 받을 확률과 거의 만점급인 47점 이상을 받을 확률이 똑같이 2만 몇천 분의 1이라는 같은 자릿수에서 만납니다. 그리고 이 "만점이 나오기 힘든 진짜 이유"를 파고들면, 정답은 층층이 뒤집힙니다. 난이도 때문이 아니라 문항 수 때문이라는 답이 먼저 나오고, 그 답조차 현실 데이터 앞에서 다시 무너집니다.

INPUT

계산에 쓸 가정을 먼저 못 박습니다. 모든 수치는 출처와 함께, 보수적인지 공격적인지도 밝힙니다.

국어 영역의 구조는 총 45문항, 2점짜리 35문항과 3점짜리 10문항으로 나뉘어 100점 만점을 이룹니다. 모든 문항이 5개 선택지 중 하나를 고르는 5지선다형입니다.^[1] 순수하게 찍는다면 문항 하나를 맞힐 확률은 $p = 1/5 = 0.2$입니다. 이 구조는 평가원이 공개한 시험 체제 그대로라 그대로 확정해도 되는 값입니다.

영어 영역도 같은 뼈대를 씁니다. 45문항, 2점×35+3점×10 구조로 100점 만점이고 역시 5지선다입니다. 두 영역의 배점을 각각 확인해 보면 구조가 동일합니다.^[1][2] 다만 영어는 2018학년도부터 절대평가라, 원점수 구간별로 등급이 미리 정해져 있다는 점만 다릅니다.

수학 영역은 30문항으로 국어·영어보다 문항 수가 적습니다. 객관식 21문항(2점×3+3점×10+4점×8=68점)과 단답형 9문항(3점×4+4점×5=32점)으로 나뉩니다. 이 배점은 시험 직후 평가원이 공개하는 문항별 정답·배점표를 직접 대조해서 확인한 값입니다. 공통 22문항 중 1~15번이 객관식, 16~22번이 단답형입니다. 선택과목(확률과 통계/미적분/기하) 8문항 중에서는 23~28번이 객관식, 29~30번이 단답형입니다. 이 구조를 그대로 따라가면 앞서 말한 배점 조합(2·3·4점 문항 수까지)이 정확히 나옵니다.^[3][4] 단답형은 답을 000부터 999까지의 세 자리 자연수로 입력하는 방식이라, 순수하게 찍어서 맞을 확률은 1/1000에 불과합니다.^[5]

국어의 실제 만점자 통계도 입력값으로 씁니다. 2025학년도 수능에서는 응시자 461,252명 중 1,055명이 국어 만점을 받았습니다(0.229%).^[6] 2026학년도에는 응시자 490,989명 중 261명만 만점을 받았습니다(0.053%).^[7][8] 이 두 수치는 뒤에서 "균일 지식모델"이 얼마나 낙관적으로 틀렸는지 반박하는 데 쓰입니다. 두 해 모두 평가원이 직접 발표한 채점 결과라 그대로 신뢰할 수 있는 값입니다.

마지막으로 “확실히 아는 비율” $s$라는 모델 변수를 하나 도입합니다. 문항 중 $s$ 비율은 실력으로 확실히 맞히고, 나머지 $(1-s)$ 비율은 모르는 채로 순수하게 찍는다고 가정하는 단순화 모델입니다. $s=0$이면 완전 찍기, $s=1$이면 만점자입니다. 이건 실측치가 아니라 뒤에서 반증될 예정인 모델 가정이라는 점을 미리 밝힙니다.

FORMULA

완전 찍기 점수 분포 — 정확한 계산

국어 점수는 2점 문항 35개에서 맞힌 개수 $X$와 3점 문항 10개에서 맞힌 개수 $Y$의 조합으로 정해집니다. 순수하게 찍을 때 각 문항을 맞힐 확률은 $p=0.2$이므로, $X$와 $Y$는 각각 이항분포(정해진 횟수만큼 독립 시행을 반복할 때 성공 횟수가 따르는 확률분포)를 따릅니다.

$$S = 2X + 3Y,\quad X\sim\mathrm{Binom}(35,\,0.2),\ \ Y\sim\mathrm{Binom}(10,\,0.2)$$

이 글의 모든 확률값은 이 두 이항분포를 정수 단위로 정확히 합성(convolution, 두 확률분포를 조합해 합의 분포를 구하는 연산)해서 얻은 해석적 정확값입니다. 근사나 시뮬레이션이 아니라, 분수 연산으로 소수점 아래까지 딱 떨어지게 계산했습니다. 기댓값과 분산(점수가 평균에서 얼마나 흩어져 있는지를 제곱 단위로 나타낸 값)부터 구합니다.

$$E[S] = 100p = 100 \times 0.2 = 20.000\ \text{점}$$

분산은 조심해야 할 부분입니다. 국어는 2점 문항과 3점 문항이 섞여 있어서, 교과서에 나오는 단순 이항분포 분산 공식 $np(1-p)$를 그대로 쓸 수 없습니다. 각 문항의 분산을 배점의 제곱으로 가중해서 더해야 합니다.

$$\mathrm{Var}[S] = (2^2 \times 35 + 3^2 \times 10) \times p(1-p) = (140+90) \times 0.2 \times 0.8 = 230 \times 0.16 = 36.800$$

$$SD = \sqrt{36.800} = 6.0663\ \text{점}$$

평균 20점, 표준편차(분산에 제곱근을 씌워 원래 점수 단위로 되돌린 값으로, 점수가 평균 근처에 얼마나 몰려 있는지 보여주는 지표) 약 6.07점입니다. 흔히 "평균 ±1 표준편차 구간에 약 68%가 몰려 있다"고 말하지만, 이건 좌우대칭인 연속분포(정규분포)에서나 정확한 이야기입니다. 국어 점수 분포는 정수 단위로 뚝뚝 끊어져 있고 좌우 비대칭이라, 14~26점 구간(20±6.07을 반올림한 범위)의 실제 확률을 직접 더하면 71.46%가 나옵니다.^[9] 68%라는 숫자에 맞추려면 [15, 26]이나 [14, 25] 구간을 따로 골라야 겨우 67% 언저리가 나오는데, 해석이 번거로워지는 만큼 이 글은 "평균 ±1 표준편차(14~26점) 구간에 약 71%가 몰려 있다"고 정직하게 씁니다.

정규근사의 함정 — 왜 여기서는 정규분포를 쓰면 안 되는가

점수 분포처럼 시행 횟수가 많은 이항분포는 흔히 정규분포(종 모양의 좌우대칭 분포)로 근사해서 계산합니다. 계산기 없이도 표준정규분포표 하나로 답을 구할 수 있다는 게 장점입니다. 이때 이산분포(정수 단위로만 값을 갖는 분포)를 연속분포로 근사하면서 생기는 오차를 보정하기 위해 "연속성 보정"이라는 처리를 함께 씁니다. 예를 들어 "S가 40점을 초과할 확률"을 구할 때, 40이 아니라 40.5를 기준으로 정규분포 확률을 계산하는 식입니다.^[10]

문제는 국어 점수 분포가 $p=0.2$로, 대칭의 기준점인 0.5에서 상당히 떨어져 있다는 점입니다. 이항분포는 $p$가 0.5에서 멀어질수록 오른쪽(고득점 쪽)으로 길게 늘어지는 비대칭 형태를 띱니다. 정규분포는 태생적으로 좌우대칭이라, 이 오른쪽 꼬리의 확률을 체계적으로 낮게 잡습니다. 실제로 얼마나 틀리는지 직접 대조해 보면 다음과 같습니다.

$$\frac{P_{\text{exact}}(S>50)}{P_{\text{normal}}(S>50)} \approx 15.2$$

30점 근처에서는 오차가 15%로 봐줄 만합니다. 그런데 평균에서 4~5 표준편차 밖으로 갈수록, 즉 정말 희귀한 사건을 다룰수록 오차가 기하급수적으로 벌어집니다. 50점을 넘길 확률을 정규분포로 구하면 실제보다 15배나 낮게 나옵니다. 이 글이 다루려는 건 바로 이런 극단적인 꼬리 확률(만점, 0점, 47점 이상)이라서, 정규근사는 애초에 쓸 수 있는 도구가 아닙니다. 처음부터 이항분포를 정수 단위로 정확히 계산해야 하는 이유가 여기에 있습니다. 이 비대칭성은 잠시 후 다룰 반전 1의 수학적 근거이기도 합니다.

반전 1 — 찍기의 최악과 준만점이 같은 자릿수에서 만난다

이제 양쪽 극단을 나란히 놓고 비교합니다. 전 문항을 틀려서 0점을 받을 확률은,

$$P(S=0) = (1-p)^{45} = 0.8^{45} = 4.3556\times10^{-5}$$

분수로 바꾸면 22,959번에 1번꼴입니다.^[11] 그럼 반대쪽 극단, 거의 만점급인 47점 이상을 받을 확률은 얼마일까요.

$$P(S \geq 46) = 7.451\times10^{-5}\ (\text{0점보다 1.71배 흔함})$$

$$P(S \geq 47) = 4.2421\times10^{-5}\ (\text{23,573번에 1번})$$

두 확률을 나란히 놓으면 22,959번에 1번(0점)과 23,573번에 1번(47점 이상)입니다. 차이는 2.7%에 불과합니다. 완전히 아무것도 모르는 최악의 결과와 만점에 근접한 최상의 결과가, 통계적으로 똑같이 "2만 몇천 분의 1"이라는 자릿수에서 맞물려 있는 셈입니다. 다만 이 균형은 칼날 위에 서 있습니다. 경계선을 한 칸만 46점으로 옮기면 순위가 뒤집혀 46점 이상 쪽이 0점보다 오히려 1.71배 더 흔해집니다. 정확한 경계는 46점과 47점 사이에 있습니다. 이렇게 아슬아슬한 균형이 성립한다는 사실 자체가, 앞서 본 비대칭 분포의 오른쪽 꼬리가 얼마나 길게 늘어져 있는지를 보여줍니다.

반전 2 — 만점의 적은 난이도가 아니라 문항 수다 (무작위 추측 영역)

국어 만점 확률을 직접 구하면,

$$P(S=100) = p^{45} = 0.2^{45} = 3.5184\times10^{-32}$$

숫자만 보면 감이 잘 안 옵니다. 그래서 "80억 명이 매초 한 번씩 찍기를 시도한다"는 가정으로 시간 단위로 바꿔 봅니다. 세계 인구는 2022년에 80억 명을 넘겼습니다.^[12] 문항 수만 다른 네 가지 시험을 나란히 놓고 비교합니다.

$$P_{\text{perfect}}(n, m) = \left(\frac{1}{m}\right)^n$$

문항 수는 20개에서 45개로 2.25배 늘었을 뿐인데, 만점 확률은 약 $10^{18}$배 붕괴합니다. 100문항, 200문항으로 가면 상황이 더 이상합니다. "우주 나이의 N배"라는 단위조차 감당이 안 될 정도로 커져서, 아예 우주에 존재하는 원자 개수로 앵커를 바꿔야 겨우 자릿수를 표현할 수 있습니다. 숫자가 의미를 잃는 지점입니다.

이 반전에서 반드시 짚어야 할 조건이 있습니다. 위 표는 전부 $s=0$, 즉 문항마다 난이도 차이가 전혀 의미 없는 "순수 추측"의 세계에서 성립하는 계산입니다. 이 세계에서는 만점을 가르는 유일한 변수가 문항 수입니다. 문항이 하나 늘 때마다 만점 확률에 $1/5$이 곱해지니까요. 국어가 유독 어려워서 만점이 희귀한 게 아니라, 단지 45번 연속으로 5분의 1 확률을 통과해야 하기 때문입니다.

반전 3 — 그런데 진범은 소수의 킬러 문항이다 (실력자 영역)

여기서 멈추면 "결국 문항 수가 범인"이라는 깔끔한 결론으로 끝날 수 있습니다. 그런데 이 결론은 $s=0$일 때만 성립하는 이야기입니다. 현실의 만점자는 순수하게 찍는 사람이 아니라 실력자입니다. 실력자 영역에서 무슨 일이 벌어지는지 확인하려면, 앞서 정의한 “확실히 아는 비율” $s$를 도입한 균일 지식모델을 세워야 합니다. 문항마다 $s$의 확률로 확실히 맞히고, $(1-s)$의 확률로는 5지선다를 순수하게 찍는다고 가정하면, 문항당 정답 확률은 다음과 같습니다.

$$p(s) = s + \frac{1-s}{5} = \frac{1+4s}{5}$$

이 모델로 만점 확률 $P_{100}(s) = p(s)^{45}$을 계산하면 다음과 같은 표가 나옵니다.

이 모델대로라면, 45문항 중 98.089%는 확실히 알고 나머지 1.911%에서만 흔들리는 수준이면 만점 확률이 절반을 넘습니다. 문항당 확신도가 99%(100문항 중 1개꼴로만 헷갈리는 수준)라면 만점 확률이 무려 69.7%까지 올라갑니다. 상위권 학생이라면 충분히 도달할 법한 확신도로 보입니다.

그런데 현실 데이터를 대입하면 이 모델은 정면으로 반박당합니다. 2025학년도 수능에서 국어 만점 비율은 0.229%, 2026학년도에는 0.053%였습니다.^[6][7][8] 모델이 예측한 69.7%와 비교하면 실제 만점 비율은 그 304배에서 1,314배 낮습니다.

$$\frac{P_{\text{model}}(s=0.99)}{P_{\text{real}}} = \frac{69.67\%}{0.053\%\sim0.229\%} \approx 304 \sim 1{,}314\text{배}$$

이 격차는 "학생들의 확신도가 99%보다 낮다"는 정도로 설명되지 않습니다. 격차가 300배를 넘는다는 건, 애초에 모델 설계 자체가 잘못됐다는 뜻입니다. 균일 지식모델은 "45문항 모두 똑같이 $s$의 확률로 안다"고 가정합니다. 하지만 실제 시험은 그렇게 작동하지 않습니다. 최상위권 학생도 45문항 대부분에서는 확신도가 100%에 가깝습니다. 문제는 나머지 서너 문항, 흔히 "킬러 문항"이라 불리는 고난도 문항입니다. 이 문항들에서는 최상위권조차 확신도가 뚝 떨어집니다. 균일-$s$ 모델은 이 불균일함을 하나의 평균값으로 뭉개버리기 때문에, 만점 확률을 극단적으로 과대평가합니다. 45문항 전체의 평균 실력이 아니라, 가장 어려운 서너 문항에서 살아남는지가 만점을 가릅니다.

여기서 반전 2와 반전 3이 서로 모순처럼 보일 수 있어 짚고 넘어갑니다. 반전 2(“문항 수가 범인”)는 $s=0$, 즉 문항 간 난이도 차이가 무의미해지는 순수 추측의 세계에서 성립하는 수학적 사실입니다. 반전 3(“킬러 문항이 범인”)은 $s$가 1에 가까워지는, 즉 상위권으로 갈수록 문항 간 난이도 편차가 지배적으로 작용하는 실력자의 세계에서 성립하는 경험적 사실입니다. 두 반전은 같은 시험을 서로 다른 렌즈로 들여다본 결과일 뿐, 어느 한쪽이 틀린 게 아닙니다. 완전히 찍는 사람에게 만점의 벽은 문항 수 그 자체이고, 이미 잘 아는 사람에게 만점의 벽은 몇 개의 특정 문항입니다.

대조군 — 수학과 영어는 어떨까

수학은 다릅니다. 단답형 9문항(32점)은 000~999 중 하나를 찍어 맞힐 확률이 1/1000이라, 사실상 0점 처리해도 무방합니다. 유효 배점인 객관식 68점만으로 기대 점수를 구하면 $E[S_{\text{math}}] = 68 \times 0.2 = 13.6$점이고, 단답형까지 1/1000 모델로 정밀하게 넣어도 기댓값은 13.632점으로 0.03점밖에 차이 나지 않습니다.^[15] 반면 수학 만점 확률은 단답형 9문항이 걸림돌이 되어 $2.10\times10^{-42}$로, 국어(3.52×10⁻³²)보다 약 168억 배 더 희박합니다. 단답형이라는 관문 하나가 만점을 원천봉쇄하는 셈입니다.

영어는 국어와 배점 구조가 완전히 같아서 찍기 점수 분포도 동일합니다. 절대평가 등급 경계에 대입하면, 다 찍었을 때 9등급(0~19점)에 걸릴 확률이 48.30%, 8등급(20~29점)에 걸릴 확률이 45.21%로 9등급 쪽이 3.1%p 더 우세합니다. 그리고 15명 중 1명꼴(6.48%)로는 7등급 이상도 나옵니다.^[16] "다 찍으면 8등급과 9등급 사이 반반"이라는 속설은 대략은 맞지만, 정밀하게는 9등급 쪽으로 살짝 기울어 있습니다.

OUTPUT

세 번의 반전을 순서대로 정리합니다. 국어 45문항을 완전히 찍으면 기대 점수는 20점, 표준편차는 약 6.07점입니다. 그런데 0점을 받을 확률(22,959번에 1번)과 47점 이상을 받을 확률(23,573번에 1번)이 똑같이 2만 몇천 분의 1이라는 자릿수에서 맞물립니다 — 이게 반전 1입니다. 만점 확률은 $3.52\times10^{-32}$로, 80억 명이 매초 찍어도 우주 나이의 8,158배가 걸립니다. 이 절망적인 확률의 원인은 국어가 어려워서가 아니라 그저 문항이 45개라서입니다 — 이게 반전 2입니다. 그런데 정작 현실의 만점자 비율(0.053~0.229%)은 "문항당 99% 확신도면 만점률 70%"라는 순진한 모델보다 300배 이상 낮습니다. 만점을 가르는 건 45문항 전체의 실력이 아니라 몇 개의 킬러 문항이라는 뜻입니다 — 이게 반전 3입니다.

이 글은 찍기 전략을 권하는 글이 아닙니다. 확률이라는 도형이 어떤 모양으로 생겼는지를 보여줬을 뿐입니다. 실제 시험장에서 답을 아는 문제를 일부러 틀리게 찍을 이유는 어디에도 없습니다. 다만 한 가지는 분명해졌습니다. "다 찍었는데 20점 나왔어"라는 말은 통계적으로 지극히 평범한 결과지만, "다 찍었는데 0점 나왔어"라는 말과 "다 찍었는데 47점 넘게 나왔어"라는 말은 둘 다 2만 몇천 분의 1이라는, 좀처럼 일어나지 않는 같은 자릿수의 사건입니다. 시험지의 최악과 준만점이 이렇게 나란히 서 있다는 사실이, 이 글에서 가장 이상하고 가장 마음에 드는 결론입니다.