로또 모든 번호를 다 사면 얼마가 들까? 그리고 본전은 건질 수 있을까

토요일 밤 9시, 편의점 앞에 줄이 한 명 서 있습니다. 손에는 마킹 용지 다섯 장. 번호를 고르는 데 한참 걸립니다. “그냥 전부 다 사면 되는 거 아냐?” 친구가 농담처럼 던집니다. 실제로 계산해 보면, 그 농담에 답이 있습니다.

이 글은 수학적 시뮬레이션이며 복권 구매를 권유하지 않습니다.

INPUT

변수 1: 한국 로또 총 조합 수 $N_{\text{combo}}$

$$N_{\text{combo}} = \binom{45}{6} = 8{,}145{,}060$$

한국 로또 6/45는 1부터 45까지의 숫자 중 6개를 선택합니다. 가능한 조합의 수는 정확히 8,145,060가지입니다.^[1] 이 수치는 규칙에 의해 고정된 값입니다.

변수 2: 티켓 1게임 가격 $P_{\text{ticket}}$

$$P_{\text{ticket}} = 1{,}000 \text{ 원}$$

동행복권 공식 규정에 따라 1게임은 1,000원입니다.^[1] 2002년 로또 도입 이래 변동이 없습니다.

변수 3: 전량 매입 비용 $C_{\text{total}}$

$$C_{\text{total}} = N_{\text{combo}} \times P_{\text{ticket}} = 8{,}145{,}060 \times 1{,}000 = 8{,}145{,}060{,}000 \text{ 원}$$

약 81억 4,506만 원입니다. 이 금액이 이 계산 전체의 출발점입니다.

변수 4: 당첨금 환원율 $r_{\text{return}}$

$$r_{\text{return}} = 0.50 \text{ (50\%)}$$

「복권 및 복권기금법 시행령」 제14조에 따라 복권 총 판매액의 50%가 당첨금 재원으로 환원됩니다.^[2] 나머지 50%는 복권기금(공익사업)과 운영비로 사용됩니다. 이 50% 상한선이 존재하는 한, 구매자 전체가 기대할 수 있는 수익률은 50%를 초과할 수 없습니다.

변수 5: 해당 회차 총 판매액 $S_{\text{tot}}$

$$S_{\text{tot}} \approx 110 \text{ 억 원}$$

이월이 없는 평탄한 일반 회차 기준입니다.^[3] 이월 잭팟이 쌓인 특수 회차(예: 1,100회 이후 일부 회차)는 판매액이 200억 원을 넘는 경우도 있지만, 이 계산의 기준은 일반적인 회차입니다. 중심 추정값입니다.

변수 6: 등수별 당첨금 배분 구조

동행복권 배분 규정에 따릅니다.^[1] 3~5등은 고정 금액이며 당첨자 수에 상관없이 지급됩니다. 당첨금 풀은 $S_{\text{tot}} \times 0.50$입니다.

변수 7: 2등 당첨자 수 $n_2$ (핵심 민감 변수)

동행복권 역대 당첨 공시 데이터를 보면, 2등 당첨자 수는 회차마다 달리 나타납니다. 무작위 번호 선택 행동(QR 자동번호 포함)으로 인해 2등은 매 회차 수십 명에서 백 명 이상까지 분포합니다.^[3] 이 계산에서 n2는 1(독점)/60(중심 추정)/80(보수 추정) 세 시나리오로 나누어 다룹니다.

변수 8: 파워볼 기본 수치

파워볼은 화이트볼 5개(1~69)와 파워볼 1개(1~26)를 맞추는 구조입니다.^[4] 총 조합수는 $C(69,5) \times 26 = 11{,}238{,}513 \times 26 = 292{,}201{,}338$입니다.

FORMULA

단계 1: 등수별 당첨 조합 수 도출

전량 매입 시, 내가 보유한 8,145,060장 중 각 등수에 해당하는 장수를 계산합니다. 핵심은 한국 로또에는 보너스 번호가 1개 더 있다는 점입니다. 추첨 시 당첨번호 6개와 별도로 보너스 번호 1개를 추가로 뽑습니다.

1등 (6개 모두 일치):

$$\text{cnt}_1 = \binom{6}{6} = 1 \text{ 장}$$

당첨번호 6개가 정확히 일치하는 조합은 단 하나뿐입니다.

2등 (5개 + 보너스 번호 일치):

$$\text{cnt}_2 = \binom{6}{5} \times 1 = 6 \times 1 = 6 \text{ 장}$$

당첨번호 6개 중 5개를 고르는 방법($C(6,5)=6$)이 있고, 나머지 1개는 보너스 번호와 정확히 일치해야 합니다.

3등 (5개 일치, 보너스 불일치):

$$\text{cnt}_3 = \binom{6}{5} \times (45 - 6 - 1) = 6 \times 38 = 228 \text{ 장}$$

5개를 맞추고(6가지), 나머지 1개는 당첨번호 6개도 아니고 보너스 번호도 아닌 숫자여야 합니다. 해당하는 숫자의 수는 $45 - 6 - 1 = 38$개입니다.

4등 (4개 일치):

$$\text{cnt}_4 = \binom{6}{4} \times \binom{39}{2} = 15 \times 741 = 11{,}115 \text{ 장}$$

당첨번호 6개 중 4개를 고르고($C(6,4)=15$), 나머지 2자리는 당첨번호 6개를 제외한 39개(보너스번호 포함) 중 2개를 고릅니다($C(39,2)=741$). 4등은 4개 번호 일치이므로, 나머지 2자리에 보너스번호가 있어도 4등에 해당합니다.

5등 (3개 일치):

$$\text{cnt}_5 = \binom{6}{3} \times \binom{39}{3} = 20 \times 9{,}139 = 182{,}780 \text{ 장}$$

$C(6,3) = 20$, $C(39,3) = \frac{39 \times 38 \times 37}{6} = 9{,}139$.

전체 당첨 조합 수 검산:

$$1 + 6 + 228 + 11{,}115 + 182{,}780 = 194{,}130 \text{ 장}$$

즉, 8,145,060장 중 당첨되는 장은 194,130장(약 2.38%)이고, 나머지 7,950,930장은 꽝입니다.

단계 2: 3~5등 고정 회수액 계산

3~5등은 당첨자 수에 관계없이 정해진 금액이 지급됩니다. 전량 매입 시 수령하는 고정 당첨금의 합계는 다음과 같습니다.

$$R_{\text{fixed}} = P_3 \times \text{cnt}_3 + P_4 \times \text{cnt}_4 + P_5 \times \text{cnt}_5$$

$$= 1{,}500{,}000 \times 228 + 50{,}000 \times 11{,}115 + 5{,}000 \times 182{,}780$$

$$= 342{,}000{,}000 + 555{,}750{,}000 + 913{,}900{,}000$$

$$= 1{,}811{,}650{,}000 \text{ 원} \approx 18.12 \text{ 억 원}$$

전량 매입 비용 81.45억 원 대비, 3~5등 고정 회수액은 18.12억 원입니다. 이 시점에서 이미 63억 원 이상이 구멍입니다.

단계 3: 당첨금 풀 계산

$$\text{Pool} = S_{\text{tot}} \times r_{\text{return}} = 110 \text{ 억} \times 0.50 = 55 \text{ 억 원}$$

이 풀에서 1등이 75%, 2등이 12.5%, 3등(이월 적립)이 12.5%를 가져갑니다.^[1] 단, 3등 이월분은 다음 회차 1등에 이월되므로 여기서는 1등과 2등에만 집중합니다.

$$P_{1,\text{pool}} = 55 \text{ 억} \times 0.75 = 41.25 \text{ 억 원}$$

$$P_{2,\text{pool}} = 55 \text{ 억} \times 0.125 = 6.875 \text{ 억 원}$$

단계 4: 1등 단독 수령 + 2등 분배 시나리오 → 순손익

전량 매입 시 1등은 반드시 단독 수령합니다($n_1 = 1$). 그러나 2등은 다른 구매자도 맞출 수 있습니다. 전량 매입자가 2등 번호를 보유하고 있어도, 다른 사람이 같은 5개 + 보너스 조합을 냈다면 2등 당첨금 풀을 나눕니다.

총 회수액 공식:

$$R = \frac{P_{1,\text{pool}}}{n_1} + \frac{P_{2,\text{pool}}}{n_2} + R_{\text{fixed}}$$

$$= \frac{41.25 \text{ 억}}{1} + \frac{6.875 \text{ 억}}{n_2} + 18.12 \text{ 억}$$

$$= 59.37 \text{ 억} + \frac{6.875 \text{ 억}}{n_2}$$

순손익:

$$\text{Profit} = R - C_{\text{total}} = 59.37 \text{ 억} + \frac{6.875 \text{ 억}}{n_2} - 81.45 \text{ 억}$$

$$= \frac{6.875 \text{ 억}}{n_2} - 22.08 \text{ 억}$$

이 식에서 결정적인 사실이 보입니다. $n_2$가 아무리 작아도, 즉 2등을 완전히 독점해도($n_2=1$), 최대 수령은 6.875억 원입니다. 그러나 2등 풀 전체를 가져와도 손실은 $6.875 - 22.08 = -15.20$ 억 원입니다.

시나리오별 순손익 (S_tot = 110억 원 기준):

일반 회차에서는 2등을 독점해도 15억 원 이상 손해입니다.

단계 4.5: 손익분기 판매액 계산

그렇다면 이론상 이익이 나려면 회차 판매액이 얼마나 커야 할까요? $n_2=1$ 가정 하에 손익분기 판매액 $S^*$를 구합니다.

$$S^* \times 0.50 \times (0.75 + 0.125) + 18.12 \text{ 억} = 81.45 \text{ 억}$$

$$S^* \times 0.4375 = 63.33 \text{ 억}$$

$$S^* = \frac{63.33}{0.4375} \approx 144.8 \text{ 억 원}$$

판매액이 약 145억 원을 초과해야 2등 독점 조건에서 이익이 납니다. 이는 일반 회차 판매액(~110억 원)의 약 1.32배입니다. 여러 번 이월이 쌓인 특수 회차에서나 가능한 수준입니다.^[3]

단계 4.6: 절반만 산다면? — 확정 손해 대신 고분산 도박

81억 원이 없을 때 현실적인 절충안처럼 보이는 질문이 있습니다. “절반만 사면 어떻게 될까요?” 전체 8,145,060게임의 절반인 4,072,530게임을 무작위로 선택해 산다면, 1등 당첨 번호 조합을 보유할 확률은 정확히 $f = 0.5$입니다.

구매 비율을 $f$로 놓겠습니다. 비용은 다음과 같습니다.

$$C_f = f \times C_{\text{total}} = 0.5 \times 8{,}145{,}060{,}000 = 4{,}072{,}530{,}000 \text{ 원} \approx 40.7 \text{ 억 원}$$

하위 등수(3~5등) 회수는 거의 결정적입니다. 3~5등 당첨 조합은 각각 228개, 11,115개, 182,780개로 수가 많습니다. 절반의 조합을 보유하면 이 중 평균적으로 정확히 절반씩 갖게 됩니다. 이항분포(binomial distribution; 동전을 여러 번 반복해 던지는 것과 같은 확률 모델)를 적용하면, 당첨 조합 수가 충분히 많을 때 실제 결과가 평균(기댓값, 즉 ‘이론상 받을 금액’)에서 크게 벗어날 가능성이 거의 없습니다. 따라서 3~5등 회수는 거의 정확히 $f$배로 수렴합니다.

$$R_{\text{fixed},f} = f \times R_{\text{fixed}} = 0.5 \times 18.12 \text{ 억} \approx 9.06 \text{ 억 원}$$

2등 기대 회수도 f에 선형입니다. 전량 매입자가 2등 번호 조합 6개를 모두 보유하는 것과 달리, 비율 $f$로 매입하면 6개 중 평균 $6f$개를 보유합니다. 이 중 하나라도 2등 당첨 번호와 일치하면 당첨금 풀 $P_{2,\text{pool}}$을 총 2등 당첨자 수 $n_2$로 나눈 금액을 받습니다.^[3]

$$E[R_{2,f}] = f \times \frac{P_{2,\text{pool}}}{n_2} = 0.5 \times \frac{6.875 \text{ 억}}{60} \approx 0.057 \text{ 억 원}$$

2등 기대 회수는 사실상 반올림 오차 수준입니다.

1등은 다릅니다. 1등 당첨 번호와 일치하는 조합은 전체 8,145,060게임 중 단 1개뿐입니다. 이 1개를 보유할 확률이 바로 $f$입니다. 즉, 결과는 두 갈래로 갈립니다.

$$\text{총 회수} = \begin{cases} P_{1,\text{pool}} + E[R_{2,f}] + R_{\text{fixed},f} & \text{(1등 적중, 확률 } f\text{)} \\ E[R_{2,f}] + R_{\text{fixed},f} & \text{(1등 빗나감, 확률 } 1-f\text{)} \end{cases}$$

$S_{\text{tot}} = 110$ 억 원, $n_2 = 60$, $f = 0.5$ 기준으로 대입합니다.

$$\text{1등 적중 시 순손익} = 41.25 + 0.057 + 9.06 - 40.73 \approx +9.6 \text{ 억 원}$$

$$\text{1등 빗나감 시 순손익} = 0.057 + 9.06 - 40.73 \approx -31.6 \text{ 억 원}$$

시나리오 비교 ($S_{\text{tot}} = 110$ 억 원, $f = 0.5$, $n_2 = 60$):

기대 순손익은 다음과 같습니다.

$$E[\text{Profit}_f] = f \times (+9.6) + (1-f) \times (-31.6) = 0.5 \times 9.6 + 0.5 \times (-31.6) \approx -11.0 \text{ 억 원}$$

이는 전량 매입 손실 $-21.96$ 억 원의 정확히 절반입니다. 일반화하면 기대 순손익은 $f$에 선형입니다.

$$E[\text{Profit}_f] \approx -22 \times f \text{ 억 원}$$

50:50처럼 보이지만 두 결과의 크기가 다릅니다. 이기는 쪽(+9.6억)과 지는 쪽(−31.6억)의 절댓값 비는 약 1:3.3입니다. 즉, 질 때 이길 때보다 3배 이상 크게 잃습니다.

하위 등수만으로는 절대 본전을 넘을 수 없습니다. 1등이 빗나간 경우 회수액은 약 9.1억 원에 불과합니다. 비용 40.7억 원의 22% 수준입니다. 절반을 사도 손해를 면하려면 반드시 1등을 맞혀야 합니다.

일반화: 비율 $f$만 사면 "1등을 맞혀도 본전"이 되는 조건은 언제까지 성립할까요? 1등 적중 시 순손익이 0이 되는 $f^*$를 구합니다.

$$P_{1,\text{pool}} + f^* \times \left(\frac{P_{2,\text{pool}}}{n_2} + R_{\text{fixed}} - C_{\text{total}}\right) = 0$$

$P_{2,\text{pool}}/n_2 \approx 0$ (2등 기여 미미)으로 근사하면:

$$f^* \approx \frac{P_{1,\text{pool}}}{C_{\text{total}} - R_{\text{fixed}}} = \frac{41.25 \text{ 억}}{81.45 - 18.12 \text{ 억}} = \frac{41.25}{63.33} \approx 0.65$$

65% 이상 사면 1등을 맞혀도 손해입니다. $f > 0.65$이면 1등 당첨 이익이 하위 등수 회수와 합산해도 비용을 감당하지 못합니다.

단서: 위 계산은 본문 전체와 마찬가지로 "1등 단독 당첨"을 가정합니다. 실제 회차에는 다른 1등 당첨자가 있을 수 있고, 그러면 $P_{1,\text{pool}}$을 나눠야 하므로 흑자 폭이 줄거나 사라집니다. $n_1$에 대한 민감도는 단계 4의 시나리오 표와 동일한 맥락입니다.

단계 5: 파워볼 — 손익분기 잭팟 계산

미국 파워볼은 이월 잭팟 구조를 가져 때로 수십억 달러까지 불어납니다. 전량 매입 시 이익이 나는 최소 잭팟 규모를 구합니다.

전량 매입 비용:

$$C_{\text{pb}} = N_{\text{pb}} \times P_{\text{pb}} = 292{,}201{,}338 \times \$2 = \$584{,}402{,}676 \approx 5.844 \text{ 억 달러}$$

세후 실수령액 (광고 잭팟 $J_{\text{pb}}$ 기준):

현금일시불(lump sum)로 받으면 광고 잭팟의 약 60%만 받고, 여기에 미 연방소득세 최고세율 37%가 적용됩니다.^[5] 현금일시불 비율은 복권 종류·금리·시점에 따라 보통 55~60% 범위로 알려져 있으며, 여기서는 60%를 상한으로 가정합니다.

$$J_{\text{after}} = J_{\text{pb}} \times 0.60 \times (1 - 0.37) = J_{\text{pb}} \times 0.60 \times 0.63 = J_{\text{pb}} \times 0.378$$

손익분기 잭팟:

$$J_{\text{be}} = \frac{C_{\text{pb}}}{0.378} = \frac{584{,}402{,}676}{0.378} \approx \$1{,}546{,}567{,}926 \approx 15.5 \text{ 억 달러}$$

광고 잭팟이 약 15.5억 달러(약 2조 900억 원^[6]) 이상이어야 전량 매입 비용을 회수할 수 있습니다.

역대 최고 잭팟은 2022년 11월의 20억 4,000만 달러입니다.^[7] 이 회차를 가정하면:

$$J_{\text{after}} = 2{,}040{,}000{,}000 \times 0.378 \approx \$771{,}120{,}000 \approx 7.71 \text{ 억 달러}$$

$$\text{Profit} = 7.71 - 5.84 = +1.87 \text{ 억 달러}$$

단독 당첨 가정 시 이론상 약 1.87억 달러(약 2,520억 원^[6])의 이익이 납니다. 물론 “단독 당첨” 가정이 얼마나 현실적인지는 별도의 문제입니다.

단계 6: 물리적 타당성 페르미 추정

81.45억 원을 가지고 있다고 쳐도, 실제로 1주일 안에 814만 게임을 살 수 있을까요?

오프라인 구매 한도: 동행복권 규정상 1인이 1회 방문에 구매할 수 있는 금액은 10만 원(100게임)입니다.^[8] 따라서 전량 매입에 필요한 방문 횟수는 다음과 같습니다.

$$V_{\text{total}} = \frac{8{,}145{,}060}{100} = 81{,}451 \text{ 회}$$

마킹 용지 수: 1장에 최대 5게임을 마킹할 수 있으므로, 필요한 마킹 용지는 다음과 같습니다.

$$M_{\text{sheets}} = \frac{8{,}145{,}060}{5} = 1{,}629{,}012 \text{ 장}$$

마킹은 추첨 주 이전에 미리 준비해 둘 수 있으므로 1주일 병목과는 별개입니다. 단, 보조 수치로 작업 규모를 가늠하면: 1장당 마킹에 60초가 걸린다면, $1{,}629{,}012 \times 60 \approx 9{,}774$만 초 = 약 1,132일 분량의 손노동이 필요합니다. 10명이 동시에 작업해도 113일이 걸립니다.

진짜 병목 — 단말기 발권 처리량: 마킹을 사전에 다 준비해 놓았더라도, 발권(단말기 처리)은 추첨 주 내에 이루어져야 합니다. 복권 발권 단말기는 마킹 용지 1장(최대 5게임)을 처리하는 데 약 15초가 걸립니다.^[9]

$$T_{\text{print,total}} = M_{\text{sheets}} \times t_{\text{print}} = 1{,}629{,}012 \times 15 \text{초} = 24{,}435{,}180 \text{초} \approx 283 \text{ 일}$$

1개 단말기 기준으로 283일이 필요합니다. 1회차 판매 기간은 월요일~토요일 총 6일이므로(하루 8시간 영업 가정):

$$T_{\text{avail}} = 6 \text{ 일} \times 8 \text{ 시간} \times 3{,}600 \text{ 초/시간} = 172{,}800 \text{ 초}$$

$$N_{\text{terminals}} = \frac{T_{\text{print,total}}}{T_{\text{avail}}} = \frac{24{,}435{,}180}{172{,}800} \approx 141 \text{ 대}$$

추첨 주 6일 내내 단말기 약 141대를 풀가동해야 합니다. 동행복권 판매점이 전국에 약 6,500개 있으니 단말 수로는 충분하지만, 그 141개 판매점을 미리 섭외하고, 마킹 용지를 배송하고, 영업시간 내내 단말기를 독점 사용하는 물류 문제는 별도입니다.^[3]

영업시간을 하루 12시간으로 넉넉히 잡으면 필요 단말 수는 약 94대로 줄어들지만, 현실적 장벽은 그대로입니다.

온라인 구매는 사실상 불가능: 동행복권 온라인(연금복권 포함) 회차당 1인 구매 한도는 5,000원(5게임)입니다.^[8] 8,145,060게임을 온라인으로 혼자 구매하려면 이론상 1,629,012명이 필요합니다.

역사적 사례 — Stefan Mandel의 버지니아 신디케이트: 루마니아 출신 수학자 Stefan Mandel은 1992년 미국 버지니아 주 복권에서 대규모 신디케이트를 조직해 실제로 대부분의 조합을 사들이는 방식으로 2,700만 달러를 당첨받았습니다.^[10] 이후 미국과 호주를 포함한 여러 국가에서 이 방식을 법적으로 차단했으며, 한국의 1회 10만 원 구매 한도 역시 같은 맥락의 규제입니다.

OUTPUT

한국 로또를 전량 매입하면 약 81억 원이 들고, 어떤 조건에서도 회수는 그보다 적습니다. 1등을 단독으로 차지하고 2등까지 독점해도 일반 회차(판매액 ~110억 원)에서는 15억 원 이상 손해입니다. 이익이 나려면 이월이 쌓인 특수 회차(판매액 ~145억 원 이상)에서 2등 당첨자가 나 혼자여야 합니다. 그리고 그 티켓 814만 장을 1주일 안에 사려면 단말기 141대를 추첨일 직전까지 풀가동해야 합니다.

파워볼이라면 이야기가 조금 다릅니다. 역대 최고 잭팟(20억 4,000만 달러, 2022년)이라면 세후 약 7.7억 달러를 받아 5.8억 달러의 매입비를 넘깁니다. 다만 그 조건이 역대 딱 한 번 달성됐습니다. 그나마도 단독 당첨을 전제로 합니다.

절반만 사서 1등을 노리는 ‘도박형’ 전략도 결국 동전 던지기입니다. 절반(약 40.7억 원)을 걸면 50% 확률로 약 9.6억 원을 벌고, 50% 확률로 약 31.6억 원을 잃습니다 — 이길 때보다 질 때 3배 이상 크게 잃는 동전이죠.

로또는 설계상 손해 게임입니다. 모든 번호를 다 사도 손해이고, 사지 않아도 손해입니다. 다른 점이 있다면 전자는 81억 원을 내야 그 사실을 확인할 수 있습니다.